(a Cmb.APCS)

s u b s e t s . T h i s s t r u c t u r e , u s u a l l y v i e w e d a s c o d i f y i n g a t r i a n g u l a t e d s p a c e , i s u s e d h e r e d i r e c t l y , t o d e s c r i b e " s p a c e s " w h o s e g e o m e t r i c r e a l i s a t i o n c a n b e m i s l e a d i n g . A n i n t r i n s i c h o m o t o p y t h e o r y , n o t b a s e d o n s u c h r e a l i s a t i o n b u t a g r e e i n g w i t h i t , i s i n t r o d u c e d . T h e a p p l i c a t i o n s d e v e l o p e d h e r e a r e a i m e d a t i m a g e a n a l y s i s i n m e t r i c s p a c e s a n d h a v e c o n n e c t i o n s w i t h d i g i t a l t o p o l o g y a n d m a t h e m a t i c a l m o r p h o l o g y . A m e t r i c s p a c e X h a s a s t r u c t u r e t ε X o f s i m p l i c i a l c o m p l e x a t e a c h r e s o l u t i o n ε > 0 ; t h e r e s u l t i n g h o m o t o p y g r o u p π ε n ( X ) d e t e c t s t h o s e s i n g u l a r i t i e s w h i c h c a n b e c a p t u r e d b y a n n d i m e n s i o n a l g r i d , w i t h e d g e s b o u n d b y ε ; t h i s w o r k s e q u a l l y w e l l f o r c o n t i n u o u s o r d i s c r e t e r e g i o n s o f e u c l i d e a n s p a c e s . I t s c o m p u t a t i o n i s b a s e d o n d i r e c t , i n t r i n s i c m e t h o d s . M a t h e m a t i c s S u b j e c t C l a s s i f i c a t i o n s ( 2 0 0 0 ) . 5 5 U 1 0 , 5 5 Q 0 5 , 5 5 U 3 5 , 1 8 G 5 5 , 1 8 D 0 5 , 5 4 E 3 5 , 6 8 U 1 0 , 5 4 G 9 9 , 0 5 C 3 8 . K e y w o r d s : S i m p l i c i a l c o m p l e x , h o m o t o p y g r o u p s , h o m o t o p y t h e o r y , a b s t r a c t h o m o t o p y t h e o r y , 2 c a t e g o r i e s , f i b r e s e q u e n c e , m e t r i c s p a c e s , i m a g e p r o c e s s i n g , d i g i t a l t o p o l o g y , d i g i t a l p l a n e , m a t h e m a t i c a l m o r p h o l o g y , d i l a t i o n , g r a p h t h e o r y .